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3.-- Endomorphismes d’un A-module de type fini

Théorème 3.1.-- Soient M un A-module de type fini et u : M --> M un endomorphisme de M. On a l’équivalence :

L’implication <== est évidente. Montrons l’implication opposée ==> . Pour cela, soit (x₁, x₂, ..., x_n) un système de générateurs de M. Comme u est surjectif, il existe des y_i M tels que x_i = u(y_i). Les x_i engendrant M, il existe des a_ij A (1 < i < n) tels que y_i = sum _{j = 1}ⁿa_ijx_j, d’où

n
(3.1.1) xi = sum aiju(xj) (1 < i < n),
j=1

ou encore , en munissant M de la structure de A[T]-module définie par u, sum n
(3.1.2) xi- (aijT)xj (dans M ).
j=1

Munissons maintenant le A[T]-module Mⁿ de la structure de Mat_n(A[T])-module décrite en (2.2.4), on voit que les égalités (3.1.2) fournissent l’ égalité (dans Mⁿ)

( ) ( )
1- Ta11 - a12 ... -a1n x1
- a21 1- Ta22 ... -a2n x2
(3.1.3) ... ... ... ... ... = 0.
-an1 - an2 ... 1- T ann xn