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% thoreme.tex : Raymond Séroul, Le petit livre de TeX, p. 31
\documentclass{article}
\usepackage{plain,tex4ht}
\begin{document}
\begin{plain}
%code TeX format plain :
\centerline{\bf 3.--- Endomorphismes d'un $A$-module de type
fini} \medskip
\noindent Th\'eor\`eme 3.1.--- {\it Soient $M$ un
$A$-module de type fini et $u:M\rightarrow M$ un
endomorphisme de $M$. On a l'\'equivalence :
$$u \hbox{ est surjectif }\iff u \hbox { est bijectif.}$$
} % fin de l'italique
L'implication $\Leftarrow$ est \'evidente. Montrons
l'implication oppos\'ee $\Rightarrow$. Pour cela, soit
$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un syst\`eme de g\'en\'erateurs de
$M$. Comme $u$ est surjectif, il existe des $y_i\in M$ tels
que $x_i=u(y_i)$. Les $x_i$ engendrant $M$, il existe des
$a_{ij}\in A$ ($1\le i\le n$) tels que $y_i=\sum_{j=1}^n
a_{ij}x_j$, d'o\`u $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}u(x_j) \qquad
(1\le i\le n),\leqno(3.1.1)$$ ou encore , en munissant $M$ de
la structure de $A[T]$-module d\'efinie par $u$,
$$x_i-\sum_{j=1}^n (a_{ij}T)x_j\qquad({\rm dans}\enspace M).
\leqno(3.1.2)$$
Munissons maintenant le $A[T]$-module $M^n$ de la
structure de Mat$_n(A[T])$-module d\'ecrite en (2.2.4),
on voit que les \'egalit\'es (3.1.2) fournissent
l' \'egalit\'e (dans $M^n$)
$$\pmatrix{
1-Ta_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n} \cr
-a_{21} & 1-Ta_{22} & \ldots & -a_{2n} \cr
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
-a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & 1-Ta_{nn} \cr }
\pmatrix{x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_n \cr }
=0.\leqno\rm (3.1.3)$$
\end{plain}
\end{document}